Пътят към реалността. Пълен справочник за законите на Вселената

Роджър Пенроуз е един от най-блестящите умове във физиката от втората половина на ХХ век, а Пътят към реалността е едно от най-важните му произведения. В тази книга той си поставя една привидно неосъществима задача: да предостави на читателя пълно и достъпно изложение на математическите понятия, идеи, теории и подходи, използвани в днешната физика. Прочитът на тези над 1000 страници, изпъстрени с тензори, диференциални уравнения, интеграли и алгебрични формули изисква огромни усилия от страна на читателя, защото нито един сложен въпрос няма да бъде отминат и нито една трудност няма да бъде омаловажена. В добавка към всичко това, Пенроуз ни предлага над 400 грижливо подбрани фигури, схеми и диаграми.

Пътят към реалността представя някои от най-новите опити за съчетаване на квантовата механика и теорията на относителността: спиновите мрежи, примковите променливи и собственото творение на Пенроуз - теорията на туистърите. По повод на това, Пенроуз влиза в критичен диалог с две от другите звезди на небосклона на днешната физика - Стивън Хокинг и Едуард Уитън и изобличава някои модерни подходи - от инфлационната космология до струнната теория. Пенроуз е един от малцината днешни физици, които се интересуват не само от създаването на проверими и практически приложими теории, а и от това, което те ни казват за света, в който живеем. Ето защо, Пътят към реалността е книга, която ще ви поведе на пътуване, всяка стъпка от което ни доближава неумолимо до разкриването на най-дълбоките тайни в природата.

Роджър Пенроуз е британски математик и физик. Роден е на 8 август 1931 година в Колчестър, Есекс, Англия. Работил е както в английски, така и в американски университети. От 1973 година е професор в Оксфорд. В сферата на математическата физика работи върху различни приложения на Общата теория на относителността. Неговата туисторна теория на пространството и времето продължава да е актуална алтернатива в съвременната физика. Теоремата на Пенроуз-Хокинг за Сингулярностите разкрива основни характеристики на черните дупки. Космологическите възгледи на Пенроуз намират завършен израз в схващането за циклично преобразуване на Вселената. Забележителен принос в математиката е Мозайката на Пенроуз, която изиграва решаваща роля за разбирането на откритите по-късно квазикристали.

От края на 50^-те години на XX век той популяризира една оптическа илюзия, която става известна като Триъгълник на Пенроуз. Интересът му към теорията на познанието и неговите условия по-късно го водят към обсъждането на проблемите за изкуствен интелект. През 2005 година издава подробно изложение на своите идеи, при което се разграничава и критикува теорията на струните. Носител е на Нобелова награда за физика за 2020 година.

Предговор
Благодарности
Използвани означения
Въведение
Корените на науката

• В търсене на силите, оформящи облика на света
• Математическата истина
• Действителен ли е Платоновият математически свят?
• Три свята и три дълбоки загадки
• Доброто, Истинното и Красивото

Една древна теорема и един днешен въпрос

• Теоремата на Питагор
• Постулатите на Евклид
• Доказателство на теорематана Питагор чрез подобни повърхнини
• Хиперболична геометрия: конформен подход
• Други представяния на хиперболичната геометрия
• Исторически аспекти на хиперболичната геометрия
• Връзка с физическото пространство

Видове числа в материалния свят

• Питагорейската катастрофа
• Системата на реалните числа
• Реалните числа в материалния свят
• Нуждаят ли се естествените числа от материалния свят?
• Дискретни числа в материалния свят

Магическите комплексни числа

• Магическото число i
• Решаване на уравнения с комплексни числа
• Сходимост на степенни редове
• Комплексната равнина на Каспар Весел
• Как да построим множеството на Манделброт?

Геометрия на логаритмите, степените и корените

• Геометрични аспекти на комплексната алгебра
• Идеята за комплексен логаритъм
• Многозначност, естествени логаритми
• Комплексни степени
• Някои препратки към съвременната физика на елементарните частици

Реален математически анализ

• Какви качества трябва да има една истинска функция?
• Наклон на функция
• Производни от по-висок ред; С ∞-гладки функции
• Ойлеровото понятие за функция?
• Правила за диференциране
• Интегриране

Комплексно-числов анализ

• Комплексна гладкост; холоморфни функции
• Интегриране по контур
• От комплексна гладкост към степенни редове
• Аналитично продължение

Риманови повърхнини и комплексни изображения

• Идея за риманова повърхнина
• Конформни изображения
• Римановата сфера
• Род на компактна риманова повърхнина
• Теорема на Риман за изображенията

Разлагане в ред на Фурие и хиперфункции

• Ред на Фурие
• Функции върху окръжност
• Честотно разлагане върху римановата сфера
• Преобразование на Фурие
• Честотно разцепване чрез преобразование на Фурие
• Кой вид функция е подходящ?
• Хиперфункции

Повърхнини

• Комплексна и реална размерност
• Гладкост и частни производни
• Векторни полета и 1-форми
• Компоненти, скаларни произведения
• Уравнения на Коши-Риман

Хиперкомплексни числа

• Алгебра на кватернионите
• Ролята на кватернионите във физиката
• Геометрия на кватернионите
• Как се съчетават ротации
• Клифордови алгебри
• Грасманови алгебри

n-мерни многообразия

• Защо да изучаваме многомерните многообразия?
• Многообразия и координатни парчета
• Скалари, вектори и ковектори
• Грасманови произведения
• Интегриране на форми
• Диференциална форма
• Обемен елемент; конвенция за сумиране
• Тензори: абстрактно-индексен и диаграмен запис
• Комплексни многообразия

Групи на симетрия

• Групи от трансформации
• Подгрупи и прости групи
• Линейни трансформации и матрици
• Детерминанти и следи
• Собствени стойности и собствени вектори
• Теория на представянията и алгебри на Ли
• Тензорно представящо пространство; сводимост
• Ортогонални групи
• Унитарни групи
• Симплектични групи

Математически анализ в многообразие

• Диференциране в многообразие?
• Успоредно пренасяне (транслация)
• Ковариантна производна
• Кривина и торзия
• Геодезични линии, успоредници и кривина
• Производна на Ли
• Какво ни дава метриката?
• Симплектични многообразия

Разслоения и калибровъчни свързаности

• Физическа мотивация на идеята за разслоение
• Математическото понятие за разслоение
• Сечения на разслоения
• Разслоение на Клифорд
• Комплексни векторни разслоения и (ко)тангенциални разслоения
• Проективни пространства
• Нетривиалност при разслоена свързаност
• Кривина на разслоение

Стълба към безкрайността

• Крайни полета
• Крайна или безкрайна геометрия е нужна на физиката?
• Различен размер безкрайности
• Диагоналният разрез на Кантор
• Мистерии в основите на математиката
• Машини на Тюринг и теорема на Гьодел
• Колко голяма е физическата безкрайност?

Пространствовреме

• Пространствовремето на Аристотеловата физика
• Пространствовремето на галилеевата релативистка динамика
• Пространствовремето на нютонианската динамика
• Принцип за еквивалентност
• Картановото нютонианско пространствовреме
• Фиксирана крайна скорост на светлината
• Светлинни конуси
• Краят на абсолютното време
• Пространствовремето в Айнщайновата обща теория на относителността

Геометрия на Минковски

• Четиримерни пространства на Евклид и Минковски
• Групи на симетрия на пространството на Минковски
• Лоренцова ортогоналност и парадокс на часовника
• Хиперболична геометрия в пространство на Минковски
• Небесната сфера като риманова сфера
• Нютонова енергия и (ъглов) момент
• Релативистка енергия и импулс

Класическите полета на Максуел и Айнщайн

• Отвъд нютоновата динамика
• Теорията на Максуел за електромагнетизма
• Закони за запазване и потоци в теорията на Максуел
• Максуеловото поле като калибровъчна кривина
• Тензор на енергията и импулса
• Айнщайновото уравнение на полето
• Космологическа константа и тензор на Вайл
• Енергия на гравитационното поле

Лагранжиани и хамилтониани

• Вълшебният формализъм на Лагранж
• Повече симетрия - подходът на Хамилтън
• Малки осцилации
• Хамилтоновата динамика като симплектична геометрия
• Анализ на полета посредством лагранжиани
• Защо лагранжианите са основен инструмент на съвременните физични теории?

Квантовата частица

• Некомутиращи променливи
• Квантови хамилтониани
• Уравнение на Шрьодингер
• Експериментални потвърждения на квантовата теория
• Вълново-корпускулярният дуализъм
• Какво е квантова реалност?
• Холистична природа на вълновата функция
• Мистериозните квантови скокове
• Вълнови функция и вероятностни разпределения
• Позиционни състояния
• Описание в импулсно пространство

Квантова алгебра, геометрия и спин

• Квантовите процедури U и R
• Линейността на U и нелинейността на R
• Унитарна структура, Хилбертово пространство, Дираков запис
• Унитарна еволюция: Шрьодингер и Хайзенберг
• Наблюдаемите величини в квантовата механика
• Да/не измервания; проектори
• Нулеви измервания; спиралност
• Спин и спинори
• Риманова сфера на системи с две състояния
• Спин с по-висока размерност: представяне на Майорана
• Сферични хармонични вълни
• Релативистки квантов ъглов момент
• Изолиран квантов обект: общият случай

Оплетеният квантов свят

• Квантова механика на системи от много частици
• Огромното пространство на състоянията на многочастични системи
• Квантово сплитане; неравенства на Бел
• АПР-експерименти по Бом
• АПР-примерът на Харди: почти без никакви вероятности
• Две от загадките на квантовото сплитане
• Бозони и фермиони
• Квантови състояния на бозоните и фермионите
• Квантова телепортация
• Квлитане

Електронът на Дирак и античастиците

• Напрежение между квантовата теория и теорията на относителността
• Защо античастиците имплицират наличието на квантови полета?
• Положителни стойности на енергията в квантовата механика
• Трудности с релативистката формула за енергията
• Неинвариантността на ∂/∂t
• Коренуване на вълновия оператор по Клифорд-Дирак
• Уравнение на Дирак
• Пътят на Дирак към позитрона

Стандартен модел на физиката на елементарните частици

• Произход на съвременната физика на елементарните частици
• Зигзаговидният образ на електрона
• Електрослаби взаимодействия; рефлективна асиметрия
• Зарядово спрягане, четност и инверсия на времето
• Група на симетриите на електрослабите взаимодействия
• Силно взаимодействащи частици
• Цветни кварки
• Отвъд стандартния модел?

Квантова теория на полето

• Фундаменталният статут на квантовата теория на полето
• Оператори на раждане (креативни) и на унищожение (анихилативни)
• Безкрайномерни алгебри
• Античастици в КТП
• Различни видове вакуум
• Взаимодействия: лагранжиани и интегриране по траектории
• Разходящи интеграли по траектории: отговорът на Файнман
• Конструиране на Файнманови диаграми; S-матрица
• Ренормиране
• Диаграми на Файнман от лагранжиани
• Диаграмите на Файнман и изборът на тип вакуум

Големият взрив и неговото термодинамично наследство

• Времева симетрия в динамичната еволюция
• Субмикроскопски ингредиенти
• Ентропия
• Устойчивост на понятието за ентропия
• Извеждане - или не - на втория закон?
• Изолирана система ли е вселената като цяло?
• Ролята на Големия взрив
• Черни дупки
• Хоризонти на събитията и пространствено-времеви сингулярности
• Ентропия на черна дупка
• Космология
• Конформни диаграми
• Нашият извънредно специален Голям взрив

Спекулативни теории за ранната вселена

• Спонтанно нарушаване на симетрията в ранната вселена
• Космически топологични дефекти
• Проблеми с нарушаването на симетрията в ранната вселена
• Инфлационна космология
• Валидни ли са основанията за приемането на инфлационния модел?
• Антропният принцип
• Специалният характер на Големия взрив: антропният ключ?
• Хипотеза на Вайл за кривината
• Идеята на Хартъл-Хокинг: без граници
• Космологичните параметри: състояние на наблюденията?

Парадокс на измерването

• Конвенционалните онтологии на квантовата теория
• Неконвенционални онтологии за квантовата теория
• Матрица на плътността
• Матрици на плътността за спин ½: сфера на Блох
• Матрица на плътността в АПР-ситуации
• Подход на квантовата декохеренция
• Котката на Шрьодингер с Копенхагенска онтология
• Могат ли други конвенционални онтологии да разрешат котешкия проблем
• Кои неконвенционални онтологии биха могли да помогнат?

Роля на гравитацията в редукцията на квантовото състояние

• Ще оцелее ли квантовата теория в познатия ни днес вид?
• Данни, почерпени от космологичната асиметрия на времето
• Времева асиметрия в редукцията на квантовото състояние
• Температурата на черна дупка по Хокинг
• Температура на черна дупка от комплексна периодичност
• Вектори на Килинг, поток на енергията и... пътуване във времето!
• Извличане на енергия от орбити с отрицателна енергия
• Хокингови експлозии
• Един по-радикален подход
• Буцата на Шрьодингер
• Фундаментален конфликт с принципите на Айнщайн
• Предпочитани състояния на Шрьодингер-Нютон?
• FELIX и някои сродни идеи
• Произход на флуктуациите в ранната вселена

Суперсиметрия, допълнителни измерения и струни

• Необяснените параметри
• Суперсиметрия
• Алгебра и геометрия на суперсиметрията
• Пространствовреме с по-висока размерност
• Оригиналната адронна версия на струнната теория
• Към една струнна теория на света
• Струнна мотивация за въвеждането на допълнителни измерения
• Струнната теория като квантова гравитация?
• Струнна динамика
• Защо не виждаме допълнителните пространствени измерения?
• Трябва ли да приемем аргумента за квантовата стабилност?
• Класическа нестабилност на допълнителни измерения
• Финитна ли е струнната КТП?
• Магическите пространства на Калаби-Яу; М-теория
• Струните и ентропията на черна дупка
• Холографският принцип
• Перспективата на D-браните
• Физичен статус на струнната теория

Тясната Айнщайнова пътека, примкови променливи

• Канонична квантова гравитация
• Хиралният принос в променливите на Ащекар
• Видът на променливите на Ащекар
• Примкови променливи
• Математика на възлите и връзките
• Спинови мрежи
• Какъв е статутът на примковата квантова гравитация?

По-радикални подходи: теория на туистърите

• Теории с дискретна геометрия на някои от елементите
• Туистърите като светлинни лъчи
• Конформна група; компактифицирано пространство на Минковски
• Туистърите като спинори с по-висока размерност
• Основи на туистърната геометрия
• Геометрия на туистърите, разглеждани като безмасови частици със спин
• Квантовата теория и туистърите
• Туистърно описание на безмасови полета
• Туистърна снопова кохомология
• Туистърите и разделянето на положителни от отрицателни честоти
• Нелинейният гравитон
• Туистърите и общата теория на относителността
• Туистърен подход в теорията на елементарните частици
• Бъдещето на теорията на туистърите

Откъде минава пътят към реалността?

• Великите теории на физиката през XX век... и след това
• Математически мотивирана фундаментална физика
• Роля на модата във физиката
• Винаги ли можем да опровергаем експериментално една погрешна теория?
• Откъде ще дойде следващата революция във физиката?
• Какво е реалността?
• Роля на стиловете на мислене във физическата теория
• Нашият дълъг математически път към реалността
• Красота и чудеса
• Дълбоки отговори и още по-дълбоки въпроси

Епилог
Библиография
Именен показалец
Предметен показалец